La Matematica in Natura

Non fatevi spaventare dal titolo perché la bellezza della Natura è strettamente legata alla matematica. In che modo? In infiniti, incredibili, meravigliosi modi che danno forma a tutto ciò che ci circonda. Cominciamo dal famosissimo Nautilus, un mollusco cefalopode così antico da essere considerato un fossile vivente; ebbene, la sua peculiarità più nota, oltre a quella di essere sopravvissuto per ben 520 milioni di anni, è la forma della sua conchiglia. La sezione longitudinale della casa del Nautilus è la perfetta rappresentazione di una spirale logaritmica, ovvero una spirale che ripete all’infinito le proporzioni della sezione aurea, proprietà fondamentale per molti fenomeni di accrescimento naturale. Esistono poi altre tipologie di spirali, tra cui la spirale di Archimede, la cui distanza tra una spira e la successiva è costante; ne sono un esempio le Ammoniti, veri fossili, non più in vita. Sembra che la forma delle conchiglie sia particolarmente soggetta alle leggi matematiche, ma non solo per le magnifiche spirali che creano, bensì anche per le configurazioni apparentemente irregolari degli ornamenti, creati per deposizione matematicamente regolare dei pigmenti. Rimaniamo nelle forme spiralate, ma cambiamo regno, passando da quello animale a quello vegetale: avete mai notato che nell’ipnotizzante disco centrale dei girasoli si avvitano due spirali, una in senso orario e l’altra in senso antiorario?

Lo stesso vale per molte pigne, gli organi riproduttori delle conifere, e per la disposizione di foglie e spine delle cosiddette piante grasse o succulente? Si potrebbe fare un numero pressocché infinito di esempi, con ordini di grandezza dall’infinitamente piccolo, quali il DNA e l’RNA, all’infinitamente grande, quali le galassie dell’universo, passando per tornado atmosferici e vortici marini. Le spirali, però, non prendono solo la forma di oggetti concreti quali le corna dell’ariete o di uno qualsiasi degli esempi summenzionati, bensì vanno anche a costituire le traiettorie di locomozione di alcuni animali. Il Falco pellegrino, infatti, avendo una visione laterale, massimizza la velocità di attacco in picchiata con una traiettoria a spirale che gli permette di tenere la testa dritta e non perdere mai di vista la preda.

Le spirali, poi, sono anche alla base dei frattali, meravigliose figure geometriche la cui forma si ripete all’infinito su scale dimensionali diverse, come nel Broccolo romanesco. Esistono frattali di ogni forma, anche con spigoli vivi, come nei fiocchi di neve, o con punte di freccia, come nelle felci. Lo conoscete l’albero di Pitagora? Si tratta di una struttura a simmetria bilaterale che richiama l’aspetto di un albero, ma non è altro che un frattale; la sua costruzione si basa sul sistema binario, a partire da forme geometriche semplici quali un quadrato ed un triangolo rettangolo isoscele. Sostituendo quest’ultimo con un qualsiasi triangolo rettangolo, invece, si dà forma ad un albero asimmetrico, avvolto secondo una spirale logaritmica. Queste conformazioni assomigliano in modo impressionante a numerose piante, ma anche a coralli e spugne marine, entrando a far parte della grande famiglia dei frattali biomorfi.

Il mondo naturale abbonda di forme dalle complesse simmetrie, le stesse che attirano lo sguardo umano, ed in particolare quella bilaterale che caratterizza la quasi totalità del regno animale, noi compresi. Come sempre, esistono differenze alquanto interessanti che catturano l’attenzione con la loro peculiare bellezza; la simmetria raggiata delle stelle marine, ad esempio, ha un fascino ipnotico, così come quella pentamera di molti fiori.

È impossibile non essere d’accordo con l’affermazione di Galileo Galilei: “Il libro della natura è scritto in caratteri matematici”. Le semplici formule matematiche si uniscono alla biologia, alla fisiologia e all’anatomia nel modo più vantaggioso possibile, dando forma all’evoluzione con codici sempre più adatti. Basti pensare che l’enorme numero di informazioni genetiche di un organismo è contenuto in un’unica molecola di DNA; ciò è possibile solo grazie alla struttura frattale della doppia elica, che comprime nel minimo spazio, grandi superfici. Questo vantaggio è stato selezionato più volte e si ripropone, ad esempio, anche nei vasi sanguigni, nelle fibre nervose, nei polmoni e nei bronchi, nei villi e microvilli intestinali. Giusto per darvi qualche numero: se disteso, il DNA presente in una cellula misurerebbe oltre 2 metri; l’estensione dei nostri polmoni eguaglierebbe quella di un campo da tennis.

La matematica è poi il linguaggio alla base della fisica, la branca della scienza che studia e descrive in modo razionale i fenomeni naturali; così come è indispensabile per comprendere la chimica. La luce si propaga nello spazio secondo curve frattali che, talvolta, possiamo vedere a occhio nudo, come nel caso delle scariche elettriche e dei fulmini. E che dire dei cristalli? I figli più belli che la matematica e la chimica potessero partorire, ovvero forme geometriche definite, formate da atomi disposti in un reticolo ordinato e periodico.

Non pensate che mi sia dimenticata della sfera, figura geometrica fondamentale e utilizzatissima dalla natura a tutte le scale. Si va dai pianeti e vari altri corpi celesti, alle piccole spore e al polline, fino alla cellula più importante di tutte, l’ovulo.

Si potrebbe dire tranquillamente che ogni figura geometrica immaginabile è impiegata in natura, ma alcune di queste possono dirsi addirittura ricorrenti o comuni. Parlo della geometria legata alla matematica aurea: sezione, rapporto, numero, rettangolo, triangolo ed angolo. Già il loro appellativo trasmette appieno l’interesse e il fascino che hanno sempre suscitato nell’uomo, sin dai tempi di Euclide. Non è questa la sede per spiegarne ogni caratteristica, ma vi basti sapere che sono tutti concetti strettamente legati fra loro e con in comune una sorta di ripetizione definita magica o divina. Un rettangolo è aureo se i suoi lati, maggiore e minore, sono in un rapporto aureo, portando alla formazione di infiniti altri rettangoli aurei a seguito della sottrazione dei quadrati costruiti sul loro lato minore. In questo modo viene fuori la stessa spirale logaritmica di cui abbiamo già parlato, ma è solo un esempio delle connessioni che intercorrono tra la matematica aurea e la natura. Dall’angolo aureo avremo anche la formazione della disposizione a doppia spirale del disco del girasole, mentre dal triangolo aureo avremo il pentagramma, ovvero la famosa stella a cinque punte. Per mostrarvi nel concreto tutti questi concetti vi allego un video molto suggestivo, così come vi consiglio la visione del breve e istruttivo cartone animato “Paperino nel mondo della Matemagica”, un classico intramontabile che ha formato molte menti di molte generazioni, compresa la mia.

Tra tutti questi numeri, ce ne sono alcuni più ricorrenti nel mondo naturale? Come per le figure geometriche, anche in questo caso esistono dei favoriti, ovvero i numeri della serie di Fibonacci. Tutti noi l’abbiamo studiata a scuola e sappiamo che consiste in una successione di numeri dei quali ogni membro è la somma dei due precedenti (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …) e il cui rapporto col numero precedente si avvicina (o in eccesso o in difetto) sempre più a Φ, il numero aureo. Difficilmente in natura troverete fiori con un numero di petali diverso da un numero appartenente alla serie di Fibonacci: gigli e iris (3), ranuncoli (5), delphinia (8), tageti (13), margherite (13, 21 o 34), girasoli (34, 55, 89 o 144). Lo stesso vale per il numero di squame nelle spire delle pigne o dell’ananas che si vanno a disporre nel modo più efficiente in termini di spazio; questa ottimizzazione può avvenire anche per ridurre l’adombramento o l’evapotraspirazione delle foglie. In generale, i numeri di Fibonacci sono onnipresenti nella Fillotassi, ovvero la branca della botanica che studia l’ordine con cui foglie, petali, sepali, squame, rami interi, sono distribuiti nello spazio, conferendo una struttura geometrica precisa alla pianta.

Incredibile ma vero, non abbiamo ancora parlato di insetti, quindi li utilizzerò come esempio per accennarvi la Triangolazione di Delaunay e la Tassellatura di Voronoi. Queste formazioni geometriche sono perfettamente riconducibili alle magnifiche ali delle libellule, ed in particolare alle loro nervature.

Secondo Pitagora “Tutto è disposto secondo numeri e formule matematiche”, e se trovate delle eccezioni è perché, probabilmente, dobbiamo ancora capire di che si tratta. Avete mai osservato al telescopio gli anelli di Saturno? O visto le loro spettacolari foto della NASA? Si tratta di un ammasso di rocce satelliti e ghiaccio fluttuanti, alternati a spazi vuoti e irregolarità, ma, da lontano, l’immagine che vediamo è quella di un ordinato, seppur complicato, sistema di anelli concentrici. Oggi conosciamo addirittura la relazione matematica tra la massa del satellite e l’ampiezza del vuoto lasciato, che per l’esattezza è proporzionale ai 2/7 della massa. Se Pitagora ha ragione, quindi, ciò che oggi consideriamo Caos, domani sarà ordine spiegato dall’ennesima formula matematica.

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  1. Christian Lange
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    • Marianna Savarese
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